1 VALORIFICAREA ELEMENTELOR DE TEHNOLOGIE A INFORMAȚIEI ȘI A COMUNICĂRII ÎN PREDAREA- ÎNVĂȚAREA FUNCȚIILOR DERIVABILE Coordonator științific: Lect. dr. MARIUS POPESU Candidat: prof. ATANASIU GINA 2 CUPRINS Partea 1. CONSIDERAȚII TEORETICE Argument 4 Capitolul 1. DERIVATA UNEI FUNCȚII ÎNTR-UN PUNCT 1.1 Originea noțiunii de derivată 6 1.2 Definiția derivatei unei funcții într-un punct 9 1.3 Interpretarea geometrică a derivatei 14 1.4 Operații cu funcții derivabile. Derivatele funcțiilor uzuale 14 1.5 Derivarea funcțiilor compuse și a inversei unei funcții 21 1.6 Prezentarea sintetică a derivatelor funcțiilor uzuale și a regulilor de derivare 28 1.7 Derivate de ordin superior 31 Capitolul 2. PROPRIETĂȚILE FUNCȚIILOR DERIVABILE 2.1 Puncte de extrem. Teorema lui Fermat 38 2.2 Teorema lui Rolle 44 2.3 Teorema lui Lagrange. Teorema lui Cauchy 50 2.4 Formula lui Taylor. Formula lui Maclaurin 60 2.5 Puncte de extrem ale unei funcţii derivabile 66 2.6 Reguli de tip l’Hospital 69 2.7 Intervale de convexitate. Puncte de inflexiune 79 Capitolul. 3 APLICAȚII ALE FUNCȚIILOR DERIVABILE ÎN ALGEBRĂ 3.1 Derivate de ordin superior în probleme cu polinoame 85 3.2 Derivata unui determinat 90 3.3 Identități deduse prin derivare 93 3 Partea a II-a ASPECTE METODICE Capitolul 4. ASPECTE METODICE PRIVIND PREDAREA-ÎNVĂȚAREA ANALIZEI MATEMATICE 4.1 Clasificarea metodelor de învățământ 98 4.2 Prezentarea metodelor didactice specifice matematicii 100 4.3 Strategii și tehnici de predare-învățare 110 4.4 Procesul de predare-învățare 111 Capitolul 5. UTILIZAREA TIC ÎN PROCESUL DE PREDARE-ÎNVĂȚARE 5.1 Rolul folosirii TIC în procesul de predare-învăţare la disciplina matematică 113 5.2 Clasificarea softurilor educaționale 117 5.3 Utilizarea TIC în procesul de predare-învăţare la disciplina matematică 119 Capitolul 6. CERCETAREA PEDAGOGICĂ 6.1 Cercetarea pedagogică și inovarea în învățământ 129 6.2 Experimentul pedagogic 137 6.3 Proiectul de cercetare 139 6.4 Concluzii 156 Bibliografie 162 4 Argument Pornind de la ideea că matematica a devenit în zilele noastre un instrument esenţial de lucru pentru totalitatea ştiinţelor şi domeniilor tehnice, e firesc ca în centrul preocupărilor actuale ale şcolii româneşti să se situeze cultivarea accentuată a gândirii elevilor, prin introducerea progresivă a limajului matematic modern. Una din noţiunile fundamentale ale analizei matematice, şi în fond ale intregii ştiinţe, este cea de derivată. Această noţiune modelează ceea ce s-ar numi “viteza de variaţie a unei funcţii”, permite adâncirea studiului local şi global al funcţiilor şi, în acelaşi timp, stă la baza formulării matematice a numeroase legi ale fizicii. Ipoteza de la care s-a pornit se concretizează în ideea că pentru creşterea randamentului şcolar este necesară diversificarea metodelor de predare- învăţare şi folosirea mijloacelor de învăţământ adecvate studierii conţinuturilor referitoare la derivate. Lucrarea de față cuprinde două părți. Partea întâi „Considerații teoretice” conține trei capitole în care sunt prezentate concepte de bază ale Analizei matematice și anume: noțiunea de derivată, proprietăți ale funcț iilor derivabile, derivate de ordin superior și aplicații ale acestora, formula lui Taylor, serii de puteri și dezvoltări în serie Taylor, dar și aplicații ale derivatei în algebră și în fizică. Capitolul I prezintă originea noțiunii de derivată, definește derivata unei funcții într-un punct, operațiile cu funcții derivabile, precum și definirea derivatei de ordin superior. În capitolul II sunt prezentate câteva dintre teoremele fundamantale ale calculului diferențial: Fermat, Rolle, Lagrange împreună cu consecințele sale, regulile de tip l’Hospital, precum și exemple privind reducerea la una dintre formele 0 0 sau ∞ ∞ a formelor de nedeterminare ∞ − ∞, 1∞, ∞0, 00 sau 0 ∙ ∞. Cel de-al treilea capitol ne prezintă moduri prin care se poate calcula derivata unui determinant, caracterizarea rădăcinilor multiple pentru o funcție polinomială, iar spre sfârșitul capitolului se găsesc câteva inegalități interesante deduse prin derivare. 5 Partea a doua a lucrării “Aspecte metodice” conține trei capitole. Primul dintre acestea, conține o clasificare a metodelor de învățământ folosite în pocesul de predare- învățare-evaluare, dar și o prezentare a unor metode activ-participative. Capitolul 5 prezintă rolul folosirii Tehnologiei Informației și Comunicării în procesul de predare-învățare-evaluare la disciplina matematică. În acest capitol am enumerat câteva dintre oportunitățile și avantajele folosirii instrumentelor TIC pentru disciplina matematică, dar și clasificarea softurilor educaționale: softuri de simulare, de exersare, softuri interactive pentru predare de cunoștințe noi, softuri educative și softuri pentru testarea cunoștințelor. În ultima parte a lucrării metodice este prezentată cercetarea pedagogică, cercetare realizată prin metoda experimentului. S-au stabilit obiectivele, s-au descris toate etapele cercetării, s-au analizat și interpretat testele și s-au stabilit concluziile. Tot aici sunt cuprinse și schițele unor scenarii didactice prin care se evidențiază folosirea instrumentelor TIC în procesul de predare-învățare-evaluare a noțiunilor prezentate în unitatea de învățare „Funcții derivabile”. Este recunoscut faptul că nu se poate înțelege, asimila, adânci și justifica matematica numai prin însușirea unor cunoștințe teoretice, fără aplicații ale acestora, fără exemplificarea unora dintre noțiunile teoretice. Teoria se fixează și se aprofundează atât printr-un număr mare de probleme, exerciții, exemple și contraexemple care nuanțează rezultatele punând în evidență importanța lor cât și prin folosirea diferitelor metode didactice activ-aprticipative. Obiectivul principal acestei lucrări este acela de a crește eficiența activităților de predare-învățare pentru mărirea randamentului școlar, la valorificarea potențialului creator al acestora, oferindu-le în același timp un sprijim important în pregătirea examenului de bacalaureat, precum și la admiterea în învățământul superior. Analiza matematică este o disciplină greu accesibilă elevilor, datorită faptului că aprofundarea noţiunilor specifice necesită un intelect ridicat şi exersare a algoritmilor. 6 Capitolul 1 DERIVATA UNEI FUNCȚII ÎNTR-UN PUNCT 1.1 Originea geometrică şi fizică a derivatei Au existat două probleme, una fizică- modelarea matematică a noţiunii intuitive de viteză a unui mobil- şi alta geometrică- tangenta la o curbă plană care au contribuit la descoperirea noţiunii de derivată. a. Viteza instantanee a unui mobil Presupunem că pe o axă ∆ se mişcă un mobil în sensul pozitiv al axei şi că la momentul ������ mobilul se află în punctul de abscisă ������(������). Dacă mişcarea este uniformă, atunci pentru orice două momente ������1, ������2, (������1 ≠ ������2) raportul ������(������2) − ������(������1) ������2 − ������1 este constant, egal cu viteza ������ a mobilului, în acest caz , se ştie că ������(������) = ������ ∙ ������. Ce se întâmplă dacă însă mobilul nu mai are o mişcare uniformă, deşi se mişcă pe aceeaşi axă ∆? Raportul anterior nu va mai fi constant şi pentru orice momente ������1, ������2, (������1 ≠ ������2) raportul ������(������2)−������(������1) ������2−������1 dintre distanţa parcursă şi timpul scurs se numeşte viteza medie a mobilului între momentele respective . Practic nu există mişcări uniforme, dar pe intervalele din ce în ce mai mici mişcarea tinde să devină uniformă. Pentru ������ → ������0, ������ ≠ ������0 se poate considera că mişcarea mobilului pe intervalul de timp dintre ������0 şi ������ tinde să devină uniformă, iar viteza medie respectivă tinde către o caracteristică a mişcării exact la momentul ������0. Acea sta sugerează definiţia vitezei instantanee a mobilului la momentul ������0 ca fiind limita: (1.1.1) ������(������0) = lim ������→������0 ������(������) − ������(������0) ������ − ������0 , în ipoteza că această limită există. 7 Aşadar,������(������0) este limita pentru ������ → ������0 a vitezei medii a mobilului între momentul ������0 şi momentul ������ ≠ ������0. De exemplu, în studiul căderii corpurilor în vid s-a dovedit faptul că spaţiul parcurs în metri după ������ secunde este ������(������) = 1 2 ������������2. Fixând un moment oarecare ������0, vi teza la momentul ������0este: ������(������0) = lim ������→������0 1 2 ������������2 − 1 2 ������������0 2 ������ − ������0 = 1 2 lim ������→������0 ������(������ + ������0) = 1 2 ������ ∙ 2������0 = ������ ∙ ������0 şi la orice moment ������ va fi ������(������) = ������ ∙ ������(������ ≃ 9,81 ������ ������2)⁄ (������ este acceleraţia gravitaţională). În mod asemănător, dacă ������(������) este viteza mobilului la orice moment ������, atunci se defineşte acceleraţia mobilului la momentul ������������ ca fiind: ������(������0) = lim ������→������0 ������(������) − ������(������0) ������ − ������0 , în ipoteza că această limită există. Legea fundamentală a mecanicii lui Newton arată că la orice moment ������ forţa ������(������) care acţionează asupra mobilului, masa m a mobilului şi acceleraţia ������(������)sunt legate prin relaţia: ������(������) = ������ ⋅ ������(������). b. Problema tangentei O limită de tipul (1 ) apare şi într- o problemă pur geometrică. Fie ������: (������, ������) → ℝ o funcţie continuă în punctul ������0 ∈ (������, ������) şi (C) graficul lui f, aşadar, punctul ������0 de coordonate (������0, ������(������0)) aparţine lui (C). Pentru grafice speciale ( de exemplu pentru un semicerc ������ = √������2 − ������2, ������0 ∈ (−������, ������)) există o noţiune elementară de tangentă şi este interesant şi important să extindem această noţiune. Corespunzător intuiţiei, tangenta în M 0 la (C ) trebuie să fie o dreaptă trecând prin M0 şi ramâne să vedem ce legătură există între coeficientul ei unghiular şi ecuaţia ������ = ������(������) a lui (C ). 8 Alegând un punct oarecare ������1 ≠ ������0 din (a, b) şi notând cu ������1(������1, ������(������1) punctul corespunzător pe (C ), intuitiv tangenta în M0 trebuie să fie limita secantei ������0������1 când ������1 tinde către ������0. În termeni precişi, secanta ������0������1 are coeficientul unghiular: ������������ ������ = ������(������1) − ������(������0) ������1 − ������0 (α fiind măsura, depinzând de ������1, a unghiului făcut de semidreapta ������0������1 cu semidreapta de capăt ������0 este paralelă cu Ox ). Presupunând că există limita: (1.1.2) ������ = lim ������→������0 ������(������1) − ������(������0) ������1 − ������0 , aceasta este, prin definiţie, coeficientul unghiular al tangentei în ������0 la (C ). Observaţie. Dacă această limită este +∞ sau -∞, tangenta în M 0 la (C ) este verticală. Dreapta trecând prin ������0 având coeficientul unghiular m este, prin definiţie, tangenta în ������0 la (C ) şi are ecuaţia: (1.1.3) ������ − ������(������0) = ������(������ − ������0). În cazul semicercului avem ������(������) = √������2 − ������2 şi în punctul M0 (x0, √������2 − ������0 2) coeficientul unghiular al tangentei este ������ = lim ������1→������0 √������2 − ������1 2 − √������2 − ������0 2 ������1 − ������0 = lim ������1→������0 ������0 2 − ������1 2 (������1 − ������0)(√������2 − ������1 2 + √������2 − ������0 2) = = − lim ������1→������0 ������0 + ������1 √������2 − ������1 2 + √������2 − ������0 2 = − ������0 √������2 − ������0 2 . Se observă că tangenta în ������0 la semicerc este perpendiculară pe raza O������0 care are coeficientul unghiular ������(������0)−0 ������0−0 = √������2−������0 2 ������0 = − 1 ������ . Aceasta arată că în cazul semicercului cele două definiţii ale tangentei într- un punct coincid. Se pot da numeroase alte exemple în care apare în mod firesc limita unui raport între „creşterea funcţiei” şi „creşterea variabilei”, ca în cazul limitelor (1.1.1) şi (1.1.2). 9 1.2 Definiţia derivatei unei funcţii într-un punct Fie o funcţie ������: ������ → ℝ ( ������ ⊂ ℝ)şi ������0 ∈ ������, x0 fiind un punct de acumulare pentru mulţimea E. Definiţia 1.2.1. Se spune că ������ are derivată în punctul x0 dacă există limita (în ℝ ̅ ) (1.2.1) lim ������→������0 ������(������) − ������(������0) ������ − ������0 , notată cu ������′(������0) Definiţia 1.2.2. Dacă derivata ������′(������0) există şi este finită se spune că funcţia f este derivabilă în punctul x0. Observaţii: 1. Derivata ������′(������0) este un număr. 2. Se poate întâmpla ca ������′(������0) să existe şi să fie +∞ sau -∞.În acest caz spunem că are derivată infinită în x 0. 3. Problema existenţei derivatei sau derivabilităţii unei funcţii se pune numai în puncte care aparţin mulţimii de definiţie şi care nu sunt puncte izolate. De exemplu, nu are sens problema derivabilităţii funcţiei ������(������) = ln ������ în punctul 0 sau punctul -1, sau a funcţiei ������������ ������ în punctul ������ 2 sau a funcţiei 1 ������ în punctul 0, etc. 4. La fel ca şi continuitatea sau existenţa limitei unei funcţii într-un punct şi derivabilitatea are caracter local, adică în studiul derivabilităţii unei funcţii într-un punct este suficient a fi cunoscute numai valorile funcţiei într-o vecinătate a acelui punct. 5. Dacă funcţia ������, continuă în x 0, are derivată în x0, graficul său (C) admite tangentă în punctul corespunzător ������0(������0, ������(������0) şi anume: - Dacă derivata este finită, atunci coeficientul unghiular al tangentei este egal cu ������ = ������′( x0) , când ecuaţia tangentei în M 0 la curba (C ) are forma: ������ − ������(������0) = ������′(������0)(������ − ������0) - Dacă derivata este infinită, atunci tangenta este paralelă cu axa Ox şi are ecuaţia ������ = ������0. 6. De cele mai multe ori, E va fi un interval al lui ℝ şi atunci nu va trebui să precizăm de pentru ������0 ∈ ������ că este punct de acumulare pentru E. Next >